Уводни бележки от учителя:

малък история справка: Много учени обичат да решават проблеми от древни времена. Решения на много прости проблеми с рязането са намерени от древните гърци, китайците, но първият систематичен трактат по тази тема принадлежи на перото на Абул-Веф. Геометрите започнаха сериозно да се заемат с проблема за нарязване на фигури на най-малък брой парчета и след това конструиране на друга фигура в началото на 20 век. Един от основателите на тази секция е известният основател на пъзелите Хенри Е. Дудени.

В днешно време любителите на пъзелите са любители на решаването на режещи задачи, защото няма универсален метод за решаване на такива задачи и всеки, който се заеме да ги реши, може напълно да покаже своята изобретателност, интуиция и способност да креативно мислене. (В урока ще посочим само един от възможни примерирязане. Може да се предположи, че учениците могат да получат друга правилна комбинация - не се страхувайте от това).

Този урок трябва да се проведе под формата на практически урок. Разделете участниците в кръга на групи от по 2-3 души. Раздайте на всяка група фигури, предварително подготвени от учителя. Учениците разполагат с линийка (с деления), молив, ножица. Разрешени са само прави срезове с ножица. След като разрежете фигура на части, е необходимо да съставите друга фигура от същите части.

Задачи за рязане:

1). Опитайте се да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 равни части:

Съвет: Малките форми са много подобни на буквата Т.

2). Сега нарежете тази фигура на 4 равни части:

Съвет: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, а няма толкова много фигури от три клетки. Има само два вида: ъгъл и правоъгълник.

3). Разделете фигурата на две еднакви части и сгънете шахматната дъска от получените части.

Съвет: Предложете да започнете задачата от втората част, как да получите шахматна дъска. Припомнете си каква форма има шахматната дъска (квадрат). Пребройте броя на клетките по дължина, ширина. (Напомнете, че трябва да има 8 клетки).

4). Опитайте с три удара на ножа, за да нарежете сиренето на осем равни парчета.

Съвет: опитайте да разрежете сиренето по дължина.

Задачи за самостоятелно решаване:

1). Изрежете хартиен квадрат и направете следното:

· разрежете на такива 4 части, от които можете да направите два равни по-малки квадрата.

разрежете на пет части - четири равнобедрени триъгълника и един квадрат - и ги прегънете така, че да получите три квадрата.

(7 точки) Дайте пример за две обикновени дроби, чиято разлика е три пъти произведението им. Дайте изчисленията, които оправдават това свойство.

Отговор. Например 1/2 и 1/5

Решение

Подходящ за всякакви фракции 1/ни 1/(n+3), има и други решения.

Критерии за проверка

• Дава се верен отговор без обосновка – 3 точки.

Задача 2

(7 точки) Покажете как да разрежете фигура на три части и да направите квадрат от тях.

Решение

1 начин

2 начина

Възможни са и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко вярно решение (картинките показват как се изрязва трапец и как се сгъва квадрат) – 7 точки.
• Непълно решение (показва само как се изрязва трапец или как се сгъва квадрат) – 3 точки.

Задача 3

(7 точки) На дъската е написано числото 49. С един ход е позволено или да удвоите числото, или да изтриете последната му цифра. Възможно ли е да получите числото 50 в няколко хода?

Отговор. Мога.

Решение

Числото 50 може да се получи чрез удвояване на 25, а 25 може да се получи чрез изтриване на последната цифра от 256, която е степен на две. Така необходимата верига от трансформации може да изглежда така:

49 → 4 → 8 → 16 → 32 → 64 → 128 → 256 → 25 → 50.

Има и други решения.

Критерии за проверка.

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Непълно решение (например е посочено, че от числото 256 може да се получи 50, но не е посочено как да се получи 256) - 3 точки.

Задача 4

(7 точки) Един от тримата приятели: Андрей, Борис или Владимир е най-силният, другият е най-умният, третият е най-добрият. Един ден казаха следното:

Андрю: Владимир е по-силен от мен.

Борис : Аз съм по-умен от Владимир.

Владимир : Борис е по-умен от мен.

Известно е, че най-силният и най-добрият каза истината, най-умният излъга и сред тях няма двама равни по сила.

Вярно ли е, че сред тримата приятели този, който е най-добрият, е и най-слабият?

Обосновете отговора си.

Отговор. да

Решение

Нека означим: A - Андрей, B - Борис, C - Владимир. Изявления B и C се повтарят едно друго и тъй като сред трите има само едно невярно твърдение, B и C са казали истината, A - лъжа. Следователно A е най-умният (по условие), A е по-силен от B (защото A е излъгал), а B е по-умен от C (защото B и C са казали истината). Тъй като A е по-силен от B, тогава B не е най-силният. Оказва се, че B е най-силният, A е среден по сила, C е най-слабият.В същото време C не е най-умният и не е най-силният, което означава, че той е най-добрият.

За по-голяма яснота можете да въведете наличната информация в таблица. Ще определим "местата" на всяко качество: 1 - първо място (най-умният / най-силният / най-добрият), 2 - средно, 3 - последно място.

От таблицата се вижда, че B - най-добрият и най-слабият.

Критерии за проверка

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Правилно и обосновано е установено кой е най-силен, кой е най-умен и кой е най-добродушен и няма напредък - 5 точки.
• Разумно получено, Андрей е най-умният, приятелите са правилно разпределени по сила (всичките 3 места), но не са получени или не са свързани с факта, че Владимир е най-добрият, - 5 точки.
• Разсъждението се дава само за конкретен случай (например се разглежда само случаят, в който Андрей е казал лъжа), без да се разглеждат други специални случаи и без да се посочва тяхната невъзможност - 2 точки.
• Правилният отговор, посочващ кой е най-умен, кой е най-силен и кой е най-мил, с проверка, че при такава подредба са изпълнени всички условия на задачата, но без обосновка - 2 точки.
• Допусната грешка в самото начало на разсъжденията – 0 точки.
• Дава се само отговорът - 0 точки.

Задача 5

(7 точки) Мама се разхожда с количка около езерото и напълно заобикаля езерото за 12 минути. Ваня кара скутер по същата пътека в същата посока и среща (изпреварва) майка си на всеки 12 минути. На какви интервали от време

Ще срещне ли Ваня майка си, ако кара със същата скорост, но в обратна посока?

Отговор . След 4 минути.

Решение

Тъй като майката напълно заобикаля езерото за 12 минути и среща Ваня веднъж на всеки 12 минути, за 12 минути Ваня минава около езерото точно 2 пъти, а майката - веднъж. Това означава, че скоростта на Ваня е 2 пъти скоростта на майката. От това следва, че когато Ваня е карал в същата посока като майка си, скоростта на тяхното приближаване е била равна на скоростта на майка му. Ако Ваня тръгне в обратната посока, тогава скоростта на тяхното сближаване ще бъде равна на три скорости на майката, тоест ще бъде три пъти повече. Това означава, че ще се среща с майка си три пъти по-често, тоест на всеки 4 минути.

Това разсъждение може да се извърши чрез въвеждане на означение за дължината на пистата.

Позволявам а- дължината на пътя около езерото (в метри), тогава скоростта на майката е а/12 (м/мин) и скоростта на Ваня е а/6 (m/min). Скоростта на сближаване в случай, че мама и Ваня вървят една към друга е равна на 3 а/12=а/4 (m/min). Следователно с такава скорост те ще преодолеят заедно аметра за 4 минути, тоест ще се срещат на всеки 4 минути.

Критерии за проверка

• Всяко пълно вярно решение – 7 точки.
• Установено е правилно, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, сборът от скоростите е правилно намерен, но крайният извод е направен неправилно - 2 точки.
• Правилно и обосновано е установено, че скоростта на Ваня е 2 пъти по-голяма от скоростта на майката, но по-нататъшното разсъждение или не е обосновано, или не е завършено - 1 точка.
• Решението, в което са дадени конкретни разстояния и скорости и е получен верен отговор, е 1 точка.
• Само верният отговор - 0 точки.

Максималната оценка за всички изпълнени задачи е 35.

На вниманието на учителите по математика и учителите по различни факултативни и кръжоци се предлага селекция от занимателни и развиващи задачи за геометрично рязане. Целта на използването на такива задачи от преподавател в часовете му е не само да заинтересува ученика от интересни и ефективни комбинации от клетки и форми, но и да формира у него усещане за линии, ъгли и форми. Комплектът от задачи е насочен основно към деца от 4-6 клас, въпреки че е възможно да се използва дори при ученици от гимназията. Упражненията изискват от учениците висока и постоянна концентрация на внимание и са чудесни за развиване и трениране на зрителната памет. Препоръчва се за учители по математика, подготвящи ученици за приемни изпити в математически училища и класове, които поставят специални изисквания към нивото на независимо мислене и креативностдете. Нивото на задачите съответства на нивото на встъпителните олимпиади в лицея „второ училище“ (второ математическо училище), малък мехмат на Московския държавен университет, училище „Курчатов“ и др.

Бележка на учителя по математика:
В някои решения на задачи, които можете да видите, като щракнете върху съответния показалец, е посочен само един от възможните примери за рязане. Напълно признавам, че може да получите друга правилна комбинация - не се страхувайте от това. Проверете внимателно решението на вашата мишка и ако то удовлетворява условието, тогава не се колебайте да поемете следващата задача.

1) Опитайте се да разрежете фигурата, показана на фигурата, на 3 равни части:

: Малките фигури са много подобни на буквата Т

2) Сега нарежете тази фигура на 4 равни части:

Съвет за учител по математика: Лесно е да се досетите, че малките фигури ще се състоят от 3 клетки, а няма толкова много фигури от три клетки. Има само два вида от тях: ъгъл и правоъгълник 1 × 3.

3) Нарежете тази фигура на 5 равни части:

Намерете броя на клетките, от които се състои всяка такава фигура. Тези фигурки приличат на буквата G.

4) И сега трябва да изрежете фигурата от десет клетки на 4 неравенправоъгълник (или квадрат) един спрямо друг.

Посочване на учител по математика: Изберете правоъгълник и опитайте да въведете още три в останалите клетки. Ако не работи, променете първия правоъгълник и опитайте отново.

5) Задачата става по-сложна: трябва да разрежете фигурата на 4 различни по формафигури (не непременно в правоъгълници).

Съвет за учител по математика: първо нарисувайте всички видове форми поотделно различни форми(ще бъдат повече от четири) и повторете метода за изброяване на опциите, както в предишната задача.
:

6) Нарежете тази фигура на 5 фигури от четири клетки с различна форма, така че във всяка от тях да е запълнена само една зелена клетка.

Съвет за учител по математика:Опитайте се да започнете да режете от горния ръб на тази форма и веднага ще разберете как да продължите.
:

7) Въз основа на предишния проблем. Намерете колко фигури с различни форми има, състоящи се от точно четири клетки? Фигурите могат да се усукват, въртят, но е невъзможно да се повдигне состолът (от повърхността му), върху който лежи. Тоест двете дадени фигури няма да се считат за равни, тъй като не могат да бъдат получени една от друга чрез ротация.

Съвет за учител по математика:Проучете решението на предишната задача и се опитайте да си представите различните позиции на тези фигури при завъртане. Лесно е да се досетите, че отговорът в нашата задача ще бъде числото 5 или повече. (Всъщност дори повече от шест). Има общо 7 вида описани фигури.

8) Разрежете квадрат от 16 клетки на 4 равни части, така че всяка от четирите части да има точно една зелена клетка.

Съвет за учител по математика: Появата на малки фигури не е квадрат или правоъгълник и дори не ъгъл на четири клетки. И така, на какви форми трябва да се опитаме да нарежем?

9) Разрежете изобразената фигура на две части, така че от получените части да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Общо във фигурата има 16 клетки, което означава, че квадратът ще бъде с размери 4 × 4. И по някакъв начин трябва да запълните прозореца в средата. Как да го направя? Може би някаква смяна? След това, тъй като дължината на правоъгълника е равна на нечетен брой клетки, рязането трябва да се извършва не с вертикален разрез, а по счупена линия. Така че горна частотрязани от едната страна от средната клетка, а долната от другата.

10) Нарежете правоъгълник 4×9 на две части, така че в резултат да можете да добавите квадрат от тях.

Съвет за учител по математика: В правоъгълника има 36 клетки. Следователно квадратът ще бъде с размери 6 × 6. Тъй като дългата страна се състои от девет клетки, три от тях трябва да бъдат отрязани. Как ще стане това съкращаване?

11) Кръстът от пет клетки, показан на фигурата, трябва да бъде изрязан (можете да изрежете самите клетки) на такива части, от които може да се сгъне квадрат.

Съвет за учител по математика: Ясно е, че както и да режем по линиите на клетките, няма да получим квадрат, тъй като клетките са само 5. Това е единствената задача, в която е позволено да се реже не в клетките. Все пак би било добре да ги оставим като ориентир. например, заслужава да се отбележи, че по някакъв начин трябва да премахнем вдлъбнатините, които имаме - а именно във вътрешните ъгли на нашия кръст. Как бихте го направили? Например, отрязване на някои стърчащи триъгълници от външните ъгли на кръста...